Cómo combinar ángulos de referencia con otras técnicas para resolver ecuaciones trigonométricas

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Puede incorporar ángulos de referencia en otras técnicas de pre-cálculo para resolver ecuaciones de trigonometría. Una de estas técnicas es el factoraje. Usted ha estado factorizando desde álgebra, así que este proceso no debería ser nada nuevo. Cuando se enfrenta a una ecuación que es igual a 0 y a una función trigonométrica que se está cuadrando, o tiene dos funciones trigonométricas diferentes que se están multiplicando juntas, debería intentar utilizar el factoraje para obtener su solución primero. Después del cálculo alícuota, puede utilizar la propiedad de producto cero para establecer cada factor igual a 0 y luego resolverlos por separado.

Intenta resolver un ejemplo que involucre factorizar un trinomio 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 usando los siguientes pasos:

  1. Deja que una variable iguale la proporción de trigonometría y reescribe la ecuación para simplificar. u = sin x y reescribe la ecuación como 2u2 + u – 1 = 0.
  2. Comprueba para asegurarte de que los factores de la ecuación.
  3. La ecuación 2u2 + u – 1 = 0 factores a (u + 1)(2u – 1) = 0.
  4. Reescribiendo tu ecuación de trigonomía factorizada te da (sin x + 1)(2 sin x – 1) = 0.
  5. Si sin x + 1 = 0 entonces sin x = -1. Si 2sin x – 1 = 0, entonces sin x = 1/2. Por lo tanto,

En el pre-cálculo, se le puede pedir que tome la raíz cuadrada de ambos lados para resolver una función de trigonometría. Por ejemplo, si se te da una ecuación como 4 sin2 x – 3 = 0, sigue estos pasos:

  1. Deja que una variable iguale la expresión de trigonometría y reescribe la ecuación para simplificar. u = sin x y reescribe la ecuación como 4u2 – 3 = 0.
  2. Para 4u2 – 3 = 0, suma 3 a cada lado y divide por 4 en ambos lados para obtener u2 = 3/4.
  3. Toma la raíz cuadrada de ambos lados, no olvides tomar las raíces cuadradas positivas y negativas, que te dan
  4. Vuelve a cambiar las variables a las funciones de trigonometría.
  5. El seno de x es tanto positivo como negativo para este ejemplo, lo que significa que las soluciones, o ángulos, están en los cuatro cuadrantes. Las soluciones positivas están en los cuadrantes I y II, y las soluciones negativas en los cuadrantes III y IV. Si el valor y en el primer cuadrante es el tramo largo del triángulo de 30-60-90 grados. Por lo tanto, el ángulo de referencia es
  6. Utilice el ángulo de referencia para encontrar las cuatro soluciones: Tenga en cuenta que dos de estas soluciones provienen del valor positivo del seno y dos del valor negativo del seno.

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