Cómo Crear Eigenstatos de Momentum Angular

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Por Steven Holzner

Se pueden crear los propios estados de momento angular, | l, m >, de los estados de momento angular en la mecánica cuántica. Cuando tienes los propios estados, también tienes los propios valores, y cuando tienes los propios, puedes resolver el Hamiltoniano y obtener los niveles de energía permitidos de un objeto con momento angular.

No asuma que los propios eigenstattianos son | l, m >; más bien, diga que son

donde el valor propio de

Así que el valor propio de

Del mismo modo, el valor propio de

Para seguir adelante, debe introducir los operadores de elevación y descenso. De esta manera, puede resolver el estado de la tierra, por ejemplo, aplicando el operador de descenso al estado de la tierra y estableciendo el resultado igual a cero – y luego resolviendo el estado de la tierra en sí.

En este caso, el operador de elevación es L+ y el operador de descenso es L-. Estos operadores suben y bajan el número cuántico de Lz. Puede definir los operadores de elevación y descenso de esta manera:

  • Levantando: L+ = Lx + iLy
  • Bajando: L- = Lx – iLy

Estas dos ecuaciones significan que

También puedes ver que

Esto significa que los siguientes son todos iguales a L2:

También puedes ver que estas ecuaciones son verdaderas:

Bien, ahora puedes poner todo esto a trabajar. Estás llegando a lo bueno.

Eche un vistazo al funcionamiento de

Para ver lo que

es, empezar aplicando el operador LZ de esta manera:

Desde

puedes ver que

Y porque

tiene lo siguiente:

Esta ecuación significa que el eigenstate

es también un estado propio del operador de Lz, con un eigenvalor de

O de una manera más comprensible:

donde c es una constante.

Por lo tanto, el operador L+ tiene el efecto de elevar la

número cuántico por 1. De manera similar, el operador que baja hace esto:

Ahora echa un vistazo a lo que

es igual a

Como L2 es un escalar, viaja con todo. L2 L+ – L+ L2 = 0, así que esto es cierto:

Y porque

tienes la siguiente ecuación:

Del mismo modo, el operador de descenso, L-, le da esto:

Así que los resultados de estas ecuaciones significan que los

no cambian la opción

para nada.

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