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- Cómo Crear Eigenstatos de Momentum Angular
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Por Steven Holzner
Se pueden crear los propios estados de momento angular, | l, m >, de los estados de momento angular en la mecánica cuántica. Cuando tienes los propios estados, también tienes los propios valores, y cuando tienes los propios, puedes resolver el Hamiltoniano y obtener los niveles de energía permitidos de un objeto con momento angular.
No asuma que los propios eigenstattianos son | l, m >; más bien, diga que son
donde el valor propio de
Así que el valor propio de
Del mismo modo, el valor propio de
Para seguir adelante, debe introducir los operadores de elevación y descenso. De esta manera, puede resolver el estado de la tierra, por ejemplo, aplicando el operador de descenso al estado de la tierra y estableciendo el resultado igual a cero – y luego resolviendo el estado de la tierra en sí.
En este caso, el operador de elevación es L+ y el operador de descenso es L-. Estos operadores suben y bajan el número cuántico de Lz. Puede definir los operadores de elevación y descenso de esta manera:
- Levantando: L+ = Lx + iLy
- Bajando: L- = Lx – iLy
Estas dos ecuaciones significan que
También puedes ver que
Esto significa que los siguientes son todos iguales a L2:
También puedes ver que estas ecuaciones son verdaderas:
Bien, ahora puedes poner todo esto a trabajar. Estás llegando a lo bueno.
Eche un vistazo al funcionamiento de
Para ver lo que
es, empezar aplicando el operador LZ de esta manera:
Desde
puedes ver que
Y porque
tiene lo siguiente:
Esta ecuación significa que el eigenstate
es también un estado propio del operador de Lz, con un eigenvalor de
O de una manera más comprensible:
donde c es una constante.
Por lo tanto, el operador L+ tiene el efecto de elevar la
número cuántico por 1. De manera similar, el operador que baja hace esto:
Ahora echa un vistazo a lo que
es igual a
Como L2 es un escalar, viaja con todo. L2 L+ – L+ L2 = 0, así que esto es cierto:
Y porque
tienes la siguiente ecuación:
Del mismo modo, el operador de descenso, L-, le da esto:
Así que los resultados de estas ecuaciones significan que los
no cambian la opción
para nada.