Cómo comparar dos proporciones de población

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Por Deborah J. Rumsey

Con fines estadísticos, puede comparar dos poblaciones o grupos cuando la variable es categórica (por ejemplo, fumador/no fumador, demócrata/republicano, apoyo/oposición a una opinión, etc.) y está interesado en la proporción de individuos con una determinada característica (por ejemplo, la proporción de fumadores).

Para hacer esta comparación, es necesario seleccionar dos muestras aleatorias independientes (separadas), una de cada población. La hipótesis nula H0 es que las dos proporciones de población son iguales; en otras palabras, que su diferencia es igual a 0. La notación para la hipótesis nula es H0: p1 = p2, donde p1 es la proporción de la primera población, y p2 es la proporción de la segunda población.

Declarar en H0 que las dos proporciones son iguales es lo mismo que decir que su diferencia es cero. Si empiezas con la ecuación p1 = p2 y restas p2 de cada lado, obtienes p1 – p2 = 0. Así que puedes escribir la hipótesis nula de cualquier manera.

La fórmula para el estadístico de prueba que compara dos proporciones (bajo ciertas condiciones) es

dónde

es la proporción de la primera muestra con la característica de interés,

es la proporción de la segunda muestra con la característica de interés,

es la proporción en la muestra combinada (todos los individuos en la primera y segunda muestras juntos) con la característica de interés, y z es un valor en la distribución Z. Para calcular el estadístico de la prueba, haga lo siguiente:

1. Calcule las proporciones de la muestra para cada muestra. Para hacer esto, permita que n1 y n2 representen los dos tamaños de muestra (no necesitan ser iguales). Para rho_1, divida el número de individuos de la primera muestra que tienen la característica de interés por n1. Para rho_2, divida el número de individuos de la segunda muestra que tienen la característica de interés por n2.
2. Encuentra la diferencia entre las dos proporciones de la muestra,
3. Calcular la proporción de la muestra global el número total de individuos de ambas muestras que tienen la característica de interés (por ejemplo, el número total de fumadores, hombres o mujeres, combinados de ambas muestras), dividido por el número total de individuos de ambas muestras (n1 + n2).
4. Calcular el error estándar:
5. Divida su resultado del Paso 2 por el resultado del Paso 4. Esta respuesta es su estadística de prueba.

Para interpretar la estadística de prueba, busque su estadística de prueba en la distribución normal estándar (Z-) (vea la tabla Z de abajo) y calcule el valor p; luego tome decisiones como de costumbre.

Por ejemplo, los fabricantes de Adderall, un medicamento para el trastorno por déficit de atención e hiperactividad (TDAH), informaron que 26 de los 374 sujetos (7%) que tomaron el medicamento experimentaron vómitos como un efecto secundario, en comparación con 8 de los 210 sujetos (4%) que tomaron un placebo (medicamento falso). Nótese que los pacientes no sabían qué tratamiento se les había dado. En la muestra, un mayor porcentaje de las personas que tomaban el medicamento experimentaban vómitos, pero ¿es este porcentaje suficiente para decir que toda la población que tomaba el medicamento experimentaría más vómitos? Puedes probarlo para ver.

En este ejemplo, usted tiene H0: p1 – p2 = 0 versus Ha: p1 – p2 > 0, donde p1 representa la proporción de todos los pacientes que vomitarían al usar Adderall, y p2 representa la proporción de todos los pacientes que vomitarían al usar el placebo.

¿Por qué la Ha contiene un signo «>» y no un signo «>»?<” Si cambias de grupo, el signo habría sido negativo.

Ahora calcule la estadística de la prueba:

1. Primero, determine que los tamaños de la muestra son n1 = 374 y n2 = 210, respectivamente.
2. Tome la diferencia entre estas proporciones de muestra para obtener
3. Calcule la proporción total de la muestra para obtener
4. El error estándar es
5. Finalmente, la estadística de la prueba es ¡Whew!

El valor p es la probabilidad de estar en o más allá (en este caso a la derecha de) 1,60, que es 1 – 0,9452 = 0,0548. Este valor p es ligeramente superior a 0,05, por lo que, técnicamente, no se dispone de pruebas suficientes para rechazar H0. Esto significa que de acuerdo con sus datos, los que toman este medicamento no experimentan el vómito significativamente más que los que lo hacen en comparación con un placebo.

Usted podría preguntar: «Oye, la diferencia en las proporciones de la muestra es de 0.032, lo que demuestra que el medicamento induce más vómitos que el placebo. ¿Por qué la prueba de hipótesis rechazó H0 si 0,032 es obviamente mayor que 0?» En este caso, 0,032 no es significativamente mayor que 0. También es necesario tener en cuenta la variación utilizando el error estándar y la distribución normal para poder decir algo sobre toda la población de pacientes.