Cómo comparar dos promedios de población independientes

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Por Deborah J. Rumsey

Puede comparar los datos numéricos de dos poblaciones o grupos estadísticos (como los niveles de colesterol en los hombres frente a las mujeres, o los niveles de ingresos de los graduados de la escuela secundaria frente a los de los graduados de la universidad) para probar una afirmación sobre la diferencia en sus promedios. (Por ejemplo, ¿es la diferencia en los medios de población igual a cero, lo que indica que sus medios son iguales?) Se deben seleccionar dos muestras aleatorias independientes (totalmente separadas), una de cada población, a fin de recoger los datos necesarios para esta prueba.

La hipótesis nula es que los medios de las dos poblaciones son los mismos; en otras palabras, que su diferencia es igual a 0. La notación para la hipótesis nula es

También puede escribir la hipótesis nula como

enfatizando la idea de que su diferencia es igual a cero si los medios son los mismos.

La fórmula para la estadística de la prueba que compara dos medias (bajo ciertas condiciones) es:

Para calcularlo, haga lo siguiente:

  1. Calcular la muestra se dan los medios.) Que n1 y n2 representen los dos tamaños de muestra (no es necesario que sean iguales).
  2. Halla la diferencia entre las dos medias de la muestra: Tenga en cuenta que como es igual a 0 si H0 es verdadero, no necesita ser incluido en el numerador de la estadística de la prueba. Sin embargo, si la diferencia que están probando es cualquier valor que no sea 0, se resta ese valor de x1-x2 en el numerador de la estadística de prueba.
  3. Calcular el error estándar utilizando la siguiente ecuación:
  4. Divida el resultado del Paso 2 por el resultado del Paso 3. Para interpretar el estadístico de la prueba, agregue los siguientes dos pasos a la lista:
  5. Busque su estadística de prueba en la distribución normal estándar (Z-) (vea la tabla Z de abajo) y calcule el valor p.
  6. Compare el valor p con su nivel de significación (por ejemplo, 0,05). Si es menor o igual que su nivel de significación, rechace H0. De lo contrario, no rechace H0.

Las condiciones para utilizar esta prueba son que se conozcan las dos desviaciones estándar de la población y que ambas poblaciones tengan una distribución normal o que ambos tamaños de muestra sean lo suficientemente grandes como para aplicar el Teorema del Límite Central.

Por ejemplo, supongamos que desea comparar la absorbencia de dos marcas de toallas de papel (llame a las marcas Stats-absorbent y Sponge-o-matic). Usted puede hacer esta comparación observando la cantidad promedio de onzas que cada marca puede absorber antes de saturarse. H0 dice que la diferencia entre las absorbencias medias es 0 (inexistente), y Ha dice que la diferencia no es 0. En otras palabras, una marca es más absorbente que la otra. Utilizando la notación estadística, tiene

Aquí, usted no tiene ninguna indicación de qué toalla de papel puede ser más absorbente, así que la alternativa no igualitaria es la que debe usarse.

Suponga que selecciona una muestra aleatoria de 50 toallas de papel de cada marca y mide la absorbencia de cada toalla de papel. Suponga que la absorbencia promedio de Stats-absorbent (x1) para su muestra es de 3 onzas, y suponga que la desviación estándar de la población es de 0.9 onzas. Para Sponge-o-matic (x2), la absorbencia promedio es de 3.5 onzas de acuerdo a su muestra; asuma que la desviación estándar de la población es de 1.2 onzas. Realice esta prueba de hipótesis siguiendo los 6 pasos indicados anteriormente:

  1. Dada la información anterior, usted sabe
  2. La diferencia entre la media de la muestra para (Stats-absorbent – Sponge-o-matic) es (Una diferencia negativa significa simplemente que la media de la segunda muestra era mayor que la primera.)
  3. El error estándar es
  4. Divida la diferencia, -0.5, por el error estándar, 0.2121, que le da -2.36. Esta es tu estadística de prueba.
  5. Para encontrar el valor p, busque -2.36 en la distribución normal estándar (Z-) – vea la tabla de Z de arriba. La probabilidad de estar más allá, en este caso a la izquierda de, -2.36 es igual a 0.0091. Debido a que Ha no es una alternativa igual a la alternativa, usted duplica este porcentaje para obtener 2 ∗ 0.0091 = 0.0182, su valor p.
  6. Este valor p es bastante inferior a 0,05. Eso significa que tiene pruebas bastante sólidas para rechazar H0.

Su conclusión es que existe una diferencia estadísticamente significativa entre los niveles de absorbencia de estas dos marcas de toallas de papel, basada en sus muestras. Y Sponge-o-matic sobresale, porque tiene un promedio más alto. (Stats-absorbent menos Sponge-o-matic siendo negativo significa que Sponge-o-matic tenía el valor más alto.)

La tentación es decir: «Bueno, yo sabía que la afirmación de que los niveles de absorbencia eran iguales era errónea porque una marca tenía una muestra media de 3,5 onzas y la otra de 3,0 onzas. ¿Por qué necesito una prueba de hipótesis?» Todo lo que dicen esos números es algo sobre las 100 toallas de papel muestreadas. También es necesario tener en cuenta la variación utilizando el error estándar y la distribución normal para poder decir algo sobre toda la población de toallas de papel.

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