Cómo combinar transformaciones con un gráfico sinusoidal o coseno

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

A veces se le pedirá que grafique una función seno o coseno con más de una transformación. Por ejemplo, puede ser necesario cambiar la amplitud del gráfico así como desplazarlo horizontalmente. Cuando se realizan transformaciones múltiples, se deben hacer en este orden:

  1. Cambiar la amplitud.
  2. Modifique el período.
  3. Desplazar el gráfico horizontalmente.
  4. Desplazar el gráfico verticalmente.

Las ecuaciones que combinan todas las transformaciones en una son las siguientes:

y dividir por p para encontrar el punto. La variable h es el desplazamiento horizontal, y v es el desplazamiento vertical.

Lo más importante que hay que saber es que a veces un problema se escribe de manera que parezca que el punto y el desplazamiento horizontal están dentro de la función trigonométrica. Por ejemplo,

hace que parezca que el período es el doble de rápido y el desplazamiento horizontal es pi, pero eso no es correcto. Todos los cambios de período deben ser tomados en cuenta fuera de la expresión para que sean realmente cambios de período, lo que a su vez revela los verdaderos cambios horizontales. Necesita reescribir f(x) como

Esta función le indica que el período es el doble de rápido pero que el desplazamiento horizontal es en realidad pi/2 a la derecha.

Debido a que este concepto es tan importante, deberías mirar otro ejemplo para asegurarte de que lo entiendes. Con los siguientes pasos, grafica

  1. Escribe la ecuación en su forma correcta factorizando la constante de período.
  2. Grafica el gráfico padre. Grafica la función original del coseno y= cos x tal y como la conoces.
  3. Este gráfico tiene una amplitud de 3, pero el signo negativo lo invierte». El rango es ahora[-3, 3]. Se puede ver el cambio de amplitud en la figura, cambiando la amplitud a 3. Dado que el coeficiente es -3, el gráfico también se invierte.
  4. La constante 1/2 afecta al período. El gráfico se mueve la mitad de rápido y termina, lo que se puede ver en la figura.x= 0 a x = «/>Cambiando el período a 4pi. Un ciclo del gráfico pasa ahora de x= 0 a x = 4pi.
  5. Desplazar el gráfico horizontalmente Cuando se factorizó la constante de período en el paso 1, se descubrió que el desplazamiento horizontal es hacia la izquierda Este desplazamiento se muestra en esta figura.x = -pi/2 a x»/>Un desplazamiento horizontal hacia la izquierda. Un ciclo del gráfico pasa ahora de x = -pi/2 a x = (7pi)/2.
  6. Desplazar el gráfico verticalmente Debido al – 2 que se ve en el Paso 1, este gráfico se mueve dos posiciones hacia abajo, lo que se puede ver en esta figura.
  7. Las funciones de seno y coseno están definidas para todos los ángulos θ. El dominio para las funciones de seno y coseno son todos números reales, o El rango de la gráfica en la figura ha sido estirado debido al cambio de amplitud, y desplazado hacia abajo Para encontrar el rango de una función que ha sido desplazada verticalmente, sume o reste el desplazamiento vertical (-2) del rango alterado basado en la amplitud. Para este problema, el rango de la función del coseno transformado es[-3 – 2, 3 – 2], o[-5, 1].

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